什么是混沌数学

　　要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调和,可以来看看一个比整个宇宙次要得多的系统——水龙头滴下的水滴.这是一个确定性系统,原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的,水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定.但一个简单而有效的实验证明,这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为.这使我们产生某种数学的“横向思维”,它向我们解释了为什么此种怪事是可能的.

　　假如你很小心地打开水龙头,等上几秒钟,待流速稳定下来,通常会产生一系列规则的水滴,这些水滴以规则的节律、相同的时间间隔落下.很难找到比这更可预言的东西了.但假如你缓缓打开水龙头,使水流量增大,并调节水龙头,使一连串水滴以很不规则的方式滴落,这种滴落方式似乎是随机的.只要做几次实验就会成功.实验时均匀地转动水龙头,别把龙头开大到让水成了不间断的水流,你需要的是中速滴流.如果你调节得合适,就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现.

　　1978年,加利福尼亚大学圣克鲁斯分校的一群年青的研究生组成了一个研究动力学系统的小组.他们开始考虑水滴系统的时候,就认识到它并不像表现出来的那样毫无规则.他们用话筒记录水滴的声音,分析每一滴水与下一滴水之间的间隔序列.他们所发现的是短期的可预言性.要是我告诉你3个相继水滴的滴落时刻,你会预言下一滴水何时落下.例如,假如水滴之间最近3个间隔是0.63秒、1.17秒和0.44秒,则你可以肯定下一滴水将在0.82秒后落下(这些数只是为了便于说明问题).事实上,如果你精确地知道头3滴水的滴落时刻,你就可以预言系统的全部未来.

　　那么,拉普拉斯为什么错了?问题在于,我们永远不能精确地测量系统的初始状态.我们在任何物理系统中所作出的最精确的测量,对大约10位或12位小数来说是正确的.但拉普拉斯的陈述只有在我们使测量达到无限精度(即无限多位小数,当然那是办不到的)时才正确.在拉普拉斯时代,人们就已知道这一测量误差问题,但一般认为,只要作出初始测量,比如小数点后10位,所有相继的预言也将精确到小数点后10位.误差既不消失,也不放大.不幸的是,误差确实放大,这使我们不能把一系列短期预言串在一起,得到一个长期有效的预言.例如,假设我知道精确到小数点后10位的头3滴水的滴落时刻,那么我可以精确到小数点后9位预言下一滴的滴落时刻,再下一滴精确到8位,以此类推.误差在每一步将近放大10倍,于是我对进一步的小数位丧失信心.所以,向未来走10步,我对下一滴水的滴落时刻就一无所知了.(精确的位数可能不同：它可能使每6滴水失去1位小数的精度,但只要取60滴,同样的问题又会出现.)

　　这种误差放大是使拉普拉斯完全确定论破灭的逻辑缺陷.要完善整个测量根本做不到.假如我们能测量滴落时刻到小数点后100位,我们的预言到将来100滴(或用较为乐观的估计,600滴)时将失败.这种现象叫“对初始条件的敏感性”,或更非正式地叫“蝴蝶效应”(当东京的一只蝴蝶振翅时,可能导致一个月后佛罗里达的一场飓风).它与行为的高度不规则性密切相关.任何真正规则的东西,据定义都是完全可预言的.但对初始条件的敏感性却使行为不可预言—从而不规则.因此,呈现对初始条件敏感性的系统被称为混沌系统.混沌行为满足确定性的定律,但它又如此不规则,以至在未受过训练的眼睛看来显得杂乱无章.混沌不仅仅是复杂的、无模式的行为,它要微妙得多.混沌是貌似复杂的、貌似无模式的行为,它实际上具有简单的、确定性的解释.

　　混沌的发现是由许多人(多得在此无法一一列举)作出的.它的出现,是由3个相互独立的进展汇合而成的.第一个是科学注重点的变化,从简单模式(如重复的循环)趋向更复杂的模式.第二个是计算机,它使得我们能够容易和迅速地找到动力学方程的近似解.第三个是关于动力学的数学新观点—几何观点而非数值观点.第一个进展提供了动力,第二个进展提供了技术,第三个进展则提供了认识.

　　动力学的几何化发端于大约100年前.法国数学家昂利·庞加莱(HenriPoincare)是一个独立独行的人(如果有的话),但他非常杰出,以致他的许多观点几乎一夜之间就成了正统的观点,当时他发明了相空间概念,这是一个虚构的数学空间,表示给定动力学系统所有可能的运动.为了举一个非力学的例子,让我们来考虑猎食生态系统的群体动力学.此系统中捕食者是猪,被捕食者是块菌(一种味道奇特、辛辣的真菌).我们关注的变量是两个群体的规模——猪的数目和块菌的数目(两者都相对于某个参考值,如100万).这一选择实际上使得两个变量连续,即取带小数位的实数值,而不取整数值.例如,假如猪的参考数目是100万,则17439头猪相当于值0.017439.现在,块菌的自然增长依赖于有多少块菌以及猪吃块菌的速率：猪的增长依赖于猪的头数以及猪吃的块菌数目.于是每个变量的变化率都依赖于这两个变量,我们可把注意力转向群体动力学的微分方程组.我不把方程列出来,因为在这里关键不是方程,而是你用方程干什么.

　　这些方程原则上确定任何初始群体值将如何随时间而变化.例如,假使我们从17439头猪和788444株块菌开始,则你对猪变量引入初始值0.017439,对块菌变量引入初始值0.788444,方程会含蓄地告诉你这些数将如何变化.困难的是使这种含蓄变得清晰：求解方程.但在什么意义上求解方程呢?经典数学家的自然反应是寻找一个公式,这个公式精确地告诉我们猪头数和块菌株数在任何时刻将是多少.不幸的是,此种“显式解”太罕见,几乎不值得费力去寻找它们,除非方程具有很特殊的、受限制的形式.另一个办法是在计算机上求近似解,但那只能告诉我们这些特定韧始值将发生什么变化,以及我们最想知道的许多不同的初始值将发生什么变化.

　　庞加莱的思想是画一幅图,这幅图显示所有初始值所发生的情况.系统的状态--在某一时刻两个群体的规模——可以表示成平面上的点,用坐标的方法即可表示.例如,我们可能用横坐标代表猪头数,用纵坐标代表块菌株数.上述初始状态对应于横坐标是0.017439、纵坐标是0.788444的点.现在让时间流逝.坐标按照微分方程表达的规则从一个时刻变到下一个时刻,于是对应点运动.依动点划出一条曲线；那条曲线是整个系统未来状态的直观表述.事实上,通过观察这条曲线,不用搞清楚坐标的实际数值,你就可以“看出”重要的动力学特征.

　　例如,如果这曲线闭合成环,则两个群体遵从周期性循环,不断重复同样一些值就像跑道上的赛车每一圈都经过同一个旁观者那样.假如曲线趋近某个特定点并停在那,则群体稳定到一个定态,它们在此都不发生变化——就像耗尽了燃料的赛车.由于幸运的巧合,循环和定态具有重要的生态意义—特别是,它们给群体规模设置了上限和下限.所以肉眼最易看出的这些特征确实是实际事物的特征.并且,许多不相关的细节可以被忽略——例如,不必描述其精确形状,我们就可以看出存在一种闭合环(它代表两个群体循环的合成“波形”).

　　假如我们试一试一对不同的初始值,那将会发生什么情况?我们得到第二条曲线.每一对初始值定义一条新曲线.通过画出一整族